Biomekanika, Paper 2 :))

Model Empiris Elastisitas dan Viskoelastisitas Bahan

Oleh:

Yudha Noor Aditya (080810008), Gilang Daril Umami (080810009), Istifarah (080810023), Agnes Krisanti W. (080810040), Putri Ni'matullillah (0808100), Fatimatul Karimah (0808100), Arindha Reni Pramesti (080810115), Miranda Zawazi Ihsan (080810), Nurul Istiqomah (080810), Windi Aprilyanti (080810152), Aditya Iman Rizky (080810169), Perwitasari FLR (080810190)

9.3. Model Empiris Viskoelastisitas

 

 

 

Gambar 9.6. Spring elastic solid dan dashpot viscous fluid

Spring (berlambang E) dan dashpot (berlambang η) merupakan wujud model analisis dalam menggambarkan viskoelastisitas. Spring (per) bekerja dan melambangkan sifat elastic dari material padat, sedangkan dashpot bekerja dan melambangkan sifat viskos yang ada pada suatu zat cair. Jika dilihat pada gambar di atas, gaya (stress) yang diberikan pada rangkaian akan menyebabkan deformasi (strain) pada kedua elemen tsb. Namun bedanya, deformasi pada spring bersifat sementara atau akan kembali ke bentuk semula setelah gaya dilepaskan, dimana deformasi pada dashpot akan menjadi permanen.

 

9.3.1. Model Kelvin-Voight

 

 

 

 

 

Gambar 9.7. Kelvin-Voight Model

    Bentuk model empiris paling sederhana diperoleh dengan menggabungkan spring dan dashpot dalam satu rangkaian parallel seperti ditunjukkan oleh gambar 9.7 di atas yang disebut model Kelvin-Voight. Dilihat pada gambar, rangkaian dikenai stress (σ) sehingga diperoleh

                                        (9.6)

 

dimana huruf s melambangkan spring dan huruf d melambangkan dashpot.

    Kemudian dengan adanya stress ini, kedua elemen juga mengalami deformasi atau strain (ε) masing-masing sehingga diperoleh

                                                (9.7)

Ada pula persamaan yang menghubungkan stress yang diberikan dengan strain yang dihasilkan

                                                (9.8)

                                                (9.9)

dimana stress dibandingkan strain atau stress/strain (σ/є) menunjukkan modulus elastisitas dan viskoelastisitas bahan yang menunjukkan daya/kemampuan bahan dalam menahan deformasi.

Dengan mensubstitusikan pers. (9.8) dan (9.9) ke dalam pers. (9.6) diperoleh

                                    (9.10)

dan dari pers. (9.7) menjadi

                                    (9.11)

Perhatikan bahwa strain rate (έ) yang dialami dashpot bias ditulis

 

                                    (9.12)

Pers. (9.12) di atas menghubungkan stress dengan strain dan strain rate bagi Model Kelvin-Voight dan merupakan persamaan diferensial biasa. Pada dashpot deformasi atau strain nya permanen sehingga terus terjadi perubahan panjang (strain) mengikuti berjalannya waktu sehingga bias didiferensialkan seperti pada persamaan ini.

 

 

 

 

9.3.2 Maxwell Model

    

 

        Gambar 9.8 maxwell model

 

Seperti terlihat pada gambar 9.8, konsep Maxwell model adalah menghubungkan spring dan dashpot pada satu rangkaian seri. Pada keadaan ini, stress yang digunakan pada semua sistem adalah sama pada spring dan dashpot yang dipakai (σ = σ_s = σ_d ). Dan hasil strain(ϵ) adalah jumlah strain pada spring dan dashpots (ϵ = ϵ _s + ϵ _d ). Meskipun analisa strees – strain

sama untuk mempengaruhi persamaan defferential Kelvin-Voight model yang berhubungan dengan stress dan strain untuk maxwell model dapat diperoleh persamaan seperti ini :

        (9.13)

 

Ini juga orde pertama, persamaan diferensial yang biasanya linear ditunjukkan pada 2 parameter ( E dan η ) sifat vikoelastis. Untuk stress yang diberikan (atau strain) persamaan (9.13) dapat digunakan untuk menyamakan strain (atau stress).

Springs digunakan untuk menunjukkan sifat elastis padatan dan ada batasan berapa besar spring dapat dibentuk. Pada saat yang lain, dashpots digunakan untuk menunjukkan sifat cairan dan digunakan untuk membentuk aliran yang terus menerus selama gaya yang dibentuk mereka. Contohnya, pada maxwell model, gaya yang digunakan akan menyebabakan spring dan dashpots terbentuk. Perubahan bentuk spring terbatas. Dashpot akan menjaga perubahan bentuk selama gaya ada. Oleh karena itu, secara keseluruhan sifat Maxwell model lebih seperti cairan daripada padatan dan ini dikenal menjadi model viscoelastic fluid. Perubahan bentuk dashpot yang dihubungkan paralel ke spring ,seperti pada Kelvin-Voight model, adalah dibatasi oleh respon spring yang digunakan pada beban. Dashpot pada Kelvin-Voight model tidak dapat mengalami perubahan bentuk yang terus menerus. Oleh karena itu, Kelvin-Voight model menunjukkan sifat viscoelastic solid.

9.3.3 Permodelan zat padat yang standar

    Zat padat Kelvin-Voight dan zat cair Maxwell adalah dasar permodel viskoelastis dengan menghubungkan sebuah spring dan sebuah dashpot secara bersama. Keduanya tidak menggambarkan setiap material yang nyata dikenal. Namun, disamping spring dan dashpot, keduanya bisa digunakan untuk mengggambarkan permodelan viskoelastis yang lebih kompleks, seperti permodelan zat padat yang standar. Seperti yang diilustrasikan pada Gambar 9.9, permodelan zat padat yang standar tersusun atas sebuah spring dan zat padat Kelvin-Voight dihubungkan secara seri. Permodelan zat padat yang standar adalah sebuah permodelan tiga parameter (E₁, E₂, dan η) dan digunakan untuk menjelaskan perilaku viskoelastis dari sejumlah material biologis, seperti kartilago dan membran sel darah putih. Fungsi yang terkait dengan stress, strrain, dan rata-ratanya untuk permodelan ini adalah :

 

    Pada persamaan (9.14), adalah stress rata-rata dan adalah strain rata-rata. Persamaan ini didapat dari penjelasan berikut. Seperti yang dilustrasikan pada Gambar 9.10, permodelan bisa digambarkan dengan dua unit, A dan B, dihubungkan secara seri dimana unit A adalah sebuah zat padat yang elastis dan unit B adalah sebuah zat padat Kelvin-Voight. Jika σ_A dan є_A menggambarkan stress dan strain di unit A, dan σ_B dan є_B menggambarkan stress dan strain di unit B, maka :

            σ_A = E₁ є_A                         (i)

            σ_B = E₂ є_B + η = є_B            (ii)

Setelah unit A dan unit B dihubungkan secara seri :

            є_A + є_B = є                        (iii)

            σ_A + σ_B = σ                        (iv)

Substitusikan persamaan (iv) ke dalam persamaan (i) dan (ii) dan nyatakan keduanya ke dalam hubungan strain є_A dan є_B :

            є_A =

            є_B =

Substitusi persamaan (v) dan (vi) ke dalam persamaan (iii) :

             + = є

Menggunakan perkalian silang, dan menyesuaikan dengan persyaratan, maka diperoleh :

            

9.4. Respon Material terhadap Waktu

Model empiris untuk bahan viskoelastik yang diberikan dapat dibentuk melalui serangkaian percobaan. Ada beberapa teknik eksperimental yang dirancang untuk menganalisis aspek pengaruh waktu terhadap perilaku material.

Gambar (a) Creep and recovery            Gambar (b) Stress relaxation

Diilustrasikan oleh gambar (a), sebuah creep dan tes recovery (recoil) dilakukan dengan menerapkan beban (stress σ₀) pada material terhadap waktu t₀, mempertahankan beban pada tingkat yang konstan sampai waktu t₁, dengan tiba-tiba memindahkan beban di t₁, dan mengamati respon bahan tersebut. Seperti digambarkan pada gambar (b), eksperimen stress relaxation dilakukan dengan mengusahakan material mencapai tingkat Є₀ dan mempertahankan regangan konstan sambil mengamati dalam respon stres material. Dalam tes oscillatory response harmonisasi diterapkan dan regangan bahan diukur (gambar c).

Gambar (c) Ossilatory response tests

Apabila sebuah bahan viskoelastik dikenai uji creep, hasil uji creep dapat diwakili dengan merencanakan strain diukur sebagai fungsi waktu. Model Viscoelastis empiris untuk perilaku material dapat diperoleh melalui serangkaian percobaan. Untuk tujuan ini, model empiris dibangun dengan menghubungkan sejumlah pegas dan dashpots secara bersama-sama. Persamaan diferensial yang berkaitan dengan tegangan, regangan dan tingkatan mereka berasal dari garis prosedur dalam bagian 9.3 untuk Kelvin - Voight model. Kondisi yang dikenakan dalam uji creep adalah σ = σ_0. Kondisi stress konstan disubstitusikan ke dalam persamaan deferensial, yang kemudian dipecahkan (terintegrasi) untuk strain Є. Hasil yang diperoleh adalah persamaan lain yang terkait regangan terhadap stres σ konstan, modulus elastis dan koefisien viskositas model empiris, dan waktu. Untuk σ₀ dan modulus elastis dan modulus viskositas, persamaan ini direduksi menjadi fungsi yang berhubungan regangan terhadap waktu. Fungsi tesebut kemudian digunakan untuk plot grafik strain versus waktu dan dibandingkan dengan grafik eksperimental yang diperoleh. Jika karakteristik umum kedua (eksperimental dan analitis) kurva dibandingkan, analisis yang ditindaklanjuti adalah untuk menetapkan modulus elastis dan modulus viskositas (bahan konstan) material. Ini dicapai dengan memvariasikan nilai-nilai modulus elastis dan modulus viskositas dalam model empiris sampai kurva analitis yang cocok dengan kurva eksperimental sedekat mungkin. Secara umum, prosedur ini disebut curve fitting. Jika tidak ada perbandingan umum antara kedua kurva, model lama ditinggalkan, kemudian sebuah model baru dibangun dan diperiksa.

Dari hasil analisis model matematika adalah model empiris dan persamaan diferensial yang berkaitan dengan stress (regangan) dan strain (tegangan). Tegangan – regangan dapat digunakan dalam hubungannya dengan hokum dasar mekanika untuk menganalisis respon bahan (material) untuk kondisi pembebanan yang berbeda.

Perlu diperhatikan bahwa proses deformasi yang terjadi pada bahan viskoelastik adalah cukup kompleks, dan kadang-kadang perlu menggunakan susunan model empiris untuk menjelaskan respon dari bahan viskoelastik untuk kondisi pembebanan yang berbeda. Misalnya, respons geser dari bahan viskoelastik dapat dijelaskan dengan satu model yang berbeda mungkin diperlukan untuk menjelaskan tanggapannya terhadap pemuatan normal. Model yang berbeda mungkin juga diperlukan untuk menjelaskan respon dari bahan viskoelastik pada tingkat regangan rendah dan tinggi.

 

 

 

ELASTISITAS

Gamb. 1. Pegas

Elastisitas merupakan Kecenderungan pada suatu benda untuk berubah dalam bentuk baik panjang, lebar maupun tingginya, tetapi massanya tetap, hal itu disebabkan oleh gaya-gaya yang menekan atau menariknya, pada saat gaya ditiadakan bentuk kembali seperti semula.

 

 

Ketika menarik karet mainan sampai batas tertentu, karet tersebut bertambah panjang. Jika tarikan dilepaskan, maka karet akan kembali ke panjang semula. Demikian juga ketika merentangkan pegas, pegas tersebut akan bertambah panjang. tetapi ketika dilepaskan, panjang pegas akan kembali seperti semula. Mengapa demikian ? hal itu disebabkan karena benda-benda tersebut memiliki sifat elastis. Elastis atau elastsisitas adalah kemampuan sebuah benda untuk kembali ke bentuk awalnya ketika gaya luar yang diberikan pada benda tersebut dihilangkan. Jika sebuah gaya diberikan pada sebuah benda yang elastis, maka bentuk benda tersebut berubah. Untuk pegas dan karet, yang dimaksudkan dengan perubahan bentuk adalah pertambahan panjang.

 

Perlu diketahui bahwa gaya yang diberikan juga memiliki batas-batas tertentu. Sebuah karet bisa putus jika gaya tarik yang diberikan sangat besar, melawati batas elastisitasnya. Demikian juga sebuah pegas tidak akan kembali ke bentuk semula jika diregangkan dengan gaya yang sangat besar. Jadi benda-benda elastis tersebut memiliki batas elastisitas.

Hukum Hooke adalah hukum atau ketentuan mengenai gaya dalam bidang ilmu fisika yang terjadi karena sifat elastisitas dari sebuah pir atau pegas. Besarnya gaya Hooke ini secara proporsional akan berbanding lurus dengan jarak pergerakan pegas dari posisi normalnya, atau lewat rumus matematis dapat digambarkan sebagai berikut:

 

 

di mana

F = gaya ( N )

k = konstante pegas ( N/m)

x = jarak pergerakan pegas dari posisi normalnya (m).

 

Gmb.2 Sebuah diagram tegangan - regangan suatu logam kenyal yang menderita tarikan.

 

Hubungan antara setiap jenis tegangan dengan regangan yang bersangkutan penting peranannnya dalam cabang fisika yang disebut teori elastisitas pada ilmu kekuatan bahan dibidang engineering. Apabila suatu jenis tegangan dilukiskan grafiknya terhadap regangannya, akan ternyuata bahawa diagram tegangan - regangan yang kita peroleh berbeda - beda bentuknya menurut jenis bahannya. Dua bahan yang termasuk jenis bahan yang sangat penting dalam ilmu dan teknologi dewasa ini ialah logam dan karet yang divulkanisir.

Bahkan di antara logam - logam, perbedaan tersebut sangatlah luasnya. Gambar 2.1 memperlihatkan sederhana dan regangannya menunjukkan prosentase perpanjangan. Di bagian awal kurva (sampai regangan yang kurang dari 1 %), tegangan dan regangan adalah proporsional sampai titik a (batas proporsionalnya) tercapai. Hubungan proporsional antara tegangan dan regangan dalm daerajh ini disebut Hukum Hooke. Mulai a sampai b tegangan dan regangan tidak proporsional, tetapi walaupun demikian, bila beban ditiadakan disembarang titik antara 0 dan b, kurva akan menelusuri jejajknya kembali dan bahan yang bersangkutan akan kembali kepada panjang awalnya. Dikatakanlah bahwa dalam daerah ob bahan itu elastis atau memperlihatkan sifat elastis dan titik b dinamakan batas elastis.

Gmb. 3. Diagram tegangan - regangan karet divulkanisir, yang memperlihatkan histeresis elastik.

 

Kalau bahan itu ditambah bebannya, regangan akan bertambah dengan cepat, tetapi apabila beban dilepas di suatu titik selewat b, misalkan di titik c, bahan tidak akan kembali kepanjang walnya, melainkan akan mengikuti garis putus - putus pada Gambar 12-1. Panjangnya pada tegangan nol kini lebih besar dari panjang awalnya dan bahan itu dikatakan mempunyai suatu regangan tetap (permanent set). Penambahan beban lagi sehingga melampaui c akan sangat menambah regangan sampai tercapai titik d, dimana bahan menjadi putus. Dari b ke d, logam itu dikatakan mengalami arus plastis atau deformasi plastis, dalam mana terjadi luncuran dalam logam itu sepanjang bidang yang tegangan luncurnya maksimum. Jika antara batas elastik dan titik putus terjadi deformasi plastik yang besar, logam itu dikatakan kenyal (ductile). Akan tetapi jika pemutusan terjadi segera setelah melewati batas elastis, logam itu dikatakan rapuh.

Gambar 12-2 melukiskan sebuah kurva tegangan - tegangan karet divulkanisasi yang diregang sampai melebihi tujuh kali panjang awalnya. Tidak ada bagian kurva ini dimana tegangan proporsional dengan regangan. Akan tetapi bahan itu elastik, dalam arti bahwa kalau beban ditiadakan, karet itu akan kembali ke panjangnya semula. Bila beban dikurangi,kurva tegangan - regangan tidak menurut jejaknya kembali melainkan mengikuti kurva garis putus - putus paa Gambar 12-2. tidak berimpitnya kurva tegangan bertambah dan kurva tegangan berkurang disebut histeris ealstis. Gejala yang analog yang terjadi pada bahan magnet disebut histeris magnet. Luas bidang yang dibatasi oleh kedua kurva itu, yaitu luas lingkaran histeris, sama dengan energi yang hilang di dalam bahan elastis atau bahan magnetik. Beberapa jenis karet histeris elastiknya besar. Sifat ini membuat bahan itu bermanfaat untuk peredam getaran. Jika balokdari bahan semacam ini diletakkan antara sebuah mesin yang bergetar dan lantai misalnya, terjadilah elastis setiap daur getaran. Energi mekanik berubah menjadi yang dikenal sebagai energi dakhil, yang kehadirannya dapat diketahui dari naiknya temperatur. Hasilnya, hanya sedikit saja energi getaran diteruskan ke lantai.

Perilaku bahan-bahan nyata selalu selalu menyimpang, lebih besar atau lebih kecil, dari perilaku bahan ideal. sifat baku bahan biologis bahwa hubungan tegangan dengan perubahan bentuk juga tergantung pada laju perubahan bentuk. Hal ini berarti bahwa suatu hubungan harus dijabarkan tidak hanya atas dua faktor (tegangan dan perubahan bentuk) tetapi tiga faktor (tegangan, perubahan bentuk dan waktu). Bahan-bahan yang perilakunya dipengaruhi fungsi waktu disebut bahan viskoelastis. Bahan-bahan demikian mempunyai sebagian sifat dari padatan dan sebagian sifat dari cairan.

Rayapan / rambatan (creep)    

Rayapan dipahami sebagai perubahan bentuk yang terus-menerus dari suatu bahan dibawah pengaruh tekanan konstan. Secara umum terdapat tiga tahapan proses rayapan (Gb. 64). Pada rayapan tahap pertama laju perubahan bentuk menurun, dan proses ini dinamakan rayapan primer; pada tahap kedua laju perubahan bentuk adalah mendekati konstan, dan pada tahap ketiga laju perubahan meningkat, dan proses diakhiri dengan proses putus atau runtuh (rupture). Periode waktu untuk setiap tahap rayapan sangat tergantung pada struktur dari bahan dan besarnya tegangan.

 

Total regangan (perpanjangan relatif) pada waktu t terdiri atas komponen-komponen tegangan elastis dan regangan

 

Laju regangan diperoleh melalui diferensiasi. Dengan memberikan nilai ε_e=konstan, laju regangan adalah

 

Gb.64. Tahapan rayapan

Pemulihan (recovery)

Pada tes rayapan, pada waktu t tertentu, beban dipindahkan dan secara bersamaan regangan elastis kembali menuju dimensi awal secara penuh. Regangan rayapan menurun sebagai fungsi waktu, misalnya seperti ditunjukkan dalam proses pemulihan sebagai fungsi waktu pada Gb. 65. Regangan rayapan mungkin tidak lenyap sepenuhnya selama periode pemulihan, bahkan untuk waktu t yang panjang; sisa nilainya disebut sisa regangan (residual deformation).

Tingkat pemulihan mungkin berbeda untuk setiap individu bahan. Disamping sifat dari struktur bahan tingkat pemulihan juga dipengaruhi oleh besar dan proses pembebanan. Pada bahan-bahan pertanian tingkat pemulihan menurun dengan meningkatnya beban. Tingkat pemulihan juga menurun oleh kenaikan suhu, dimana sifat ini bisa dimanfaatkan sebagai salah satu keuntungan dalam pekerjaan pembutiran (pelleting) dan pembuatan tablet (wafering).

    Sebagaimana yang telah didiskusikan sebelumnya, sebuah tes pemuluran dan pemulihan (creep and recovery) dilakukan dengan obsevasi respon material terhadap stress konstan σo yang diterapkan saat t_o dan dihilangkan saat t₁ (Gambar 9.17a). Sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 9.17b, beban akan menghasilkan strain ε = σ_o/E dalam material elastic linear saat waktu t_o. Strain konstan ini akan tetap berlangsung hingga t_1, yakni saat material mengalami pemulihan deformasi. Untuk pembebanan konstan yang sama, material viskoelastis akan mengalami strain yang meningkat antara t_o hingga t_1, saat pemulihan perlahan mulai terjadi. Pada material viskoelastis padat, material mampu mencapai kondisi awal sempurna setelah selang waktu tertentu (Gambar 9.17c); namun berbeda halnya dengan material viskoelastis cair yang tidak dimungkinkan untuk mencapai kondisi awal sempurna (Gambar 9.17d), dimana sisa deformasi masih dapat ditemukan.

    Sebagaimana yang telah diilustrasikan pada Gambar 9.18a, tes relaksasi stress (Stress Relaxation test), dilakukan dengan meregangkan material sebesar ε_o secara konstan, dilihat respon dari material. Respon material elastic linear dapat dilhat pada gambar 9.18b. Stress konstan σ_o = ε_o. E berkembang pada material, selama ε_o diterapkan. Dengan kata lain, material elastis tidak akan menunjukkan relaksasi stress; berbeda dengan material viskoelastis yang akan merespon dengan stress awal yang tinggi, kemudian menurun sejalan dengan waktu. Material viskoelastis padat, stress tidak akan pernah mencapa nol (Gambar 9.18c), sedangkan pada viskoelastis cair, stress nol akan tercapai (Gambar 9.18d).

    Karena sifatnya yang bergantung pada waktu, material viskoelastis dikatakan memiliki sifat memori. Dengan kata lain, material viskoelastis mampu mengingat deformasi yang sedang berlangsung dan bereaksi sesuai dengan deformasi tersebut.

    Hampir semua material biologis memiliki sifat viskoelastis, dan sisa bab ini akan mendiskusikan sifat mekanik dari jaringan biologis, termasuk tulang, tendon, ligament, otot, dan kartilago artikuler.

 

 

 

Simak

Baca secara fonetik